主乗法標準形

logic

主乗法標準形は、真理値表の出力値が0の行に注目して論理式を表します。真理値表の出力値が0の行ごとに、出力値が0になるように入力値をORし、それらををべてANDすれば真理値表と同じ論理式が求まります。真理値表で出力値の0の行が1の行に比べて少ない場合、主加法標準形よりも主情報標準形のほうが簡潔な論理式を作成できます。
例えば、次のような真理値表と同じ機能の論理式を求めたいとします。

XORゲート

XORゲートの真理値表

主乗法標準形では、出力が0になっている行に着目します。
真理値表では、まず1行目の出力が0です。真理値表のAとBの入力値をORしてこの行の出力が0になるようにAとBの組み合わせを決めると、1行目は次のようになります。

1行目の論理式:  \( A + B = z1 \) (結果を仮にz1とする)

z1にA=0、B=0を代入すると、z1は0になります。

次に真理値表の4行目の出力が0です。この行の出力が0になるようにAとBの組み合わせを決めると、

4行目の論理式:  \( \overline{A} + \overline{B} = z2 \) (結果を仮にz2とする)

z2にA=1、B=1を代入すると。z2は0になります。

最後に求めた論理式をANDします。

z1とz2のAND:  \( Z = z1 \bullet z2 = ( A + B ) \bullet ( \overline{A} + \overline{B} ) \)
この結果から、XORゲートは2つのORゲート、2つのNOTゲート、1つのANDゲートで作成できることがわかります。

主加法標準形の結果と比較

主加法標準形では、XORゲートを\( Z = \overline{A} \bullet B + A \bullet \overline{B}\)として表しました。主乗法標準形の結果を次のように展開すると、主加法標準形の結果と同じ式になります。
$$ Z = ( A + B ) \bullet ( \overline{A} + \overline{B} ) = A \bullet \overline{A} + A \bullet \overline{B} + B \bullet \overline{A} + B \bullet \overline{B} $$
$$ = 0 + A \bullet \overline{B} + B \bullet \overline{A} + 0 $$
$$ = A \bullet \overline{B} + B \bullet \overline{A} $$

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