主乗法標準形


主加法標準形と同様に、真理値表などから等価機能の論理式や回路図を作成するときに用いられる手法です。真理値表で出力値の0が1に比べて少ない場合、主加法標準形よりも主情報標準形のほうが簡潔な論理式を作成できます。
例えば、次のような真理値表と同じ機能の論理式を求めたいとします。

XORゲート

XORゲートの真理値表

主乗法標準形では、出力が0になっている行に着目します。
真理値表では、まず1行目の出力が0です。このとき、AとBの組み合わせはA=0、B=0です。ここで、この1行目以外が1になるような論理式を求めます。具体的には、AとBの組み合わせを反転してORします。

1行目以外が1になる論理式:  \( A + B = z1 \) (結果を仮にz1とする)

これを、図で表すと次のようになります。

真理値表の1行目以外が1になる式

真理値表の1行目以外が1になる式

次に真理値表の4行目の出力が0です。このとき、AとBの組み合わせはA=1、B=1です。ここで、この4行目以外が1になるような論理式を求めます。具体的には、AとBの組み合わせを反転してORします。

4行目以外が1になる論理式:  \( \overline{A} + \overline{B} = z2 \) (結果を仮にz2とする)

これを、図で表すと次のようになります。

真理値表の4行目以外が1になる式

真理値表の4行目以外が1になる式

最後に求めた論理式をANDします。ANDすることで、図のように1を表す結果の範囲が求まります。

最終的にANDした範囲

最終的にANDした範囲

z1とz2のAND:  \( Z = z1 \bullet z2 = ( A + B ) \bullet ( \overline{A} + \overline{B} ) \)
この結果から、XORゲートは2つのORゲート、2つのNOTゲート、1つのANDゲートで作成できることがわかります。

主加法標準形の結果と比較

主加法標準形では、XORゲートを\( Z = \overline{A} \bullet B + A \bullet \overline{B}\)として表しました。主乗法標準形の結果を次のように展開すると、主加法標準形の結果と同じ式になります。
$$ Z = ( A + B ) \bullet ( \overline{A} + \overline{B} ) = A \bullet \overline{A} + A \bullet \overline{B} + B \bullet \overline{A} + B \bullet \overline{B} $$
$$ = 0 + A \bullet \overline{B} + B \bullet \overline{A} + 0 $$
$$ = A \bullet \overline{B} + B \bullet \overline{A} $$

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