ベイチ図の例 (2変数)

ORゲートの真理値表からベイチ図を作成

ORゲート

ORゲートの真理値表

2行2列の表を作成する

2変数をそれぞれ行と列に割り当てるので、2行2列の表を作成します。

2行2列の表

2行2列の表

変数の割り当て

入力変数AとBを行、列に割り当てます。ここでは行方向にAを、列方向にBを割り当てます。行方向のセルにA=0,1を割り当て、1を割り当てたセルの上に中かっことAを書きます。同様に列方向にB=0,1を割り当て、1を割り当てたセルの左に中かっことBを書きます。

AとBを割り当てる

AとBを割り当てる

セルに値を書き込む

ORの真理値表を参考にセルにZの値を書き込みます。真理値表は、A=0,B=0の時Z=0、それ以外のAとBの組み合わせでZ=1ですが、Z=1の部分だけをセルに書きます。これでベイチ図は完成です。

Zの値を書き込む

Zの値を書き込む

このカルノー図から直接導かれる主加法標準形の論理式は次の通りです。
$$ Z = A \overline{B} + \overline{A} B + AB$$
ORの論理式は\( Z = A + B \)なので、この論理式はまだ簡略化できそうです。

論理式の簡略化

ここから、回路の簡略化を行います。図で1が連続している部分に注目し、○で囲みます。○で囲む時のルールは次の通りです。

  • 1の部分を○で囲む
  • 囲んだ中はすべて1になっていること
  • 囲んだ表のセルは縦と横が2のべき乗になっていること
  • 囲みはできるだけ大きくする
  • 表の上下、左右の両端はつながっている
  • セルは何度囲んでもよい(囲みが重なってもよい)
1の部分を囲む

1の部分を囲む

2つの囲み(赤と青)ができます。
まず、赤い囲みに着目します。この部分だけの論理式を作成すると
$$ z1 = ( \overline{A} \bullet B ) + ( A \bullet B ) = (\overline{A} + A)B $$
つまり、Aの値は0でも1でもどちらでもよいので、Aは冗長です。よって、赤い囲みは
$$ z1 = B $$
となります。
次に青い囲みに着目します。この部分だけの論理式を作成すると
$$ z2 = ( A \bullet \overline{B} ) + ( A \bullet B ) = A(\overline{B} + B) $$
つまり、Bの値は0でも1でもよいので、結局青い囲みは
$$ z2 = A $$
となります。よって、ORゲートの論理式は、赤と青の結果を合わせて
$$ Z = z1 + z2 = A + B $$
となります。

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