論理式と論理ゲートの関係


複雑な論理回路は基本的な論理ゲートを組み合わせて作られますが、それを回路図で書くのは手間がかかります。論理式を使うと、回路図の機能を簡単な式で表現できます。図1は、入力がA,B,Cの3変数(1ビットx3)の論理回路です。

図 1

図 1

例えば、図1の回路図は、次の論理式で表現できます。
$$ Z= \overline{A} \bullet \overline{B} \bullet \overline{C} + \overline{A} \bullet B \bullet C + A \bullet \overline{C} $$
A,B,Cの上に書かれた”-“が否定(NOTゲート、インバータ)を表します。ORゲートは+記号、ANDゲートは\( \bullet \)で表します。ANDゲートの\( \bullet \)は、次のように省略されることがあります。
$$ Z= \overline{A} \ \overline{B} \ \overline{C} + \overline{A}BC + A \overline{C} $$

ORゲートの別の表し方

図1の論理回路は、3つのANDゲートと1つのORゲートで構成されています。ここで、ORゲートの真理値表をもう一度見てみます。

ORゲートの真理値表

ORゲートの真理値表

ORゲートは、2つの入力のどちらかが1の場合に出力が1になります。これは、0を基準に考えると”2つの入力が両方とも0の場合のみ出力が0になる”とも言えます。つまり、ORゲートはANDゲートの入力を反転し、かつ出力も反転したものと同じと考えることができます。

ORゲートは負論理のANDゲート

ORゲートは負論理のANDゲート

この考え方で図1のORゲートのシンボルを書き直すと図2のようになります。

図2

図2

論理ゲートの入力の反転や出力の反転は○で表します。○の位置は接続されている論理ゲート間の線上を移動しても機能は変わりません。この考え方で、図2の最終段のNANDゲートの入力にある○を、その前段のANDゲートの出力に移動したのが図3です。

図3

図3

このように、図1のANDゲートとORゲートで構成された回路図は、図3のようにNANDゲート(と入力段のインバータ)だけで表すことができます。

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