論理式と論理ゲートの関係

logic

基本ゲート同士の接続関係は、回路図や論理式で表すことができます。回路図は接続関係が可視化されてわかりやすい反面、作成に手間がかかります。論理式は、回路の機能を式の形で簡潔に表すことができます。論理式は、論理関数と呼ばれることがあります。論理式では、3つの演算子か基本ゲートの代わりとして用いられます(表1)。回路図の場合と異なり、論理式では演算子の優先順位に注意が必要です。演算子の優先順位は、高い順に、否定(NOTゲート)、論理積(ANDゲート)、論理和(ORゲート)です。

 表1 論理式の演算子
演算子 機能 優先順位 使用例 
\(\overline{}\) 否定 1 \(\overline{A}\)
\(\bullet\) 論理積 2 \( A \bullet B\)
\( + \) 論理話 3 \( A + B\)

(1)は、図1の論理式です。「Bの反転とCをANDして、それをAとORしたものがZと等しい」という式です。論理積の演算子\(\bullet\)は、(2)のように省略される場合があります。

$$ Z = A + \overline{B} \bullet C \ \ \ \ \ \text{(1)} $$

$$ Z = A + \overline{B}C \ \ \ \ \ \text{(2)} $$

回路例1
図1: 回路例1
(2)の論理式は、演算子の優先順位から\(\overline{B}C \)をまず計算します。\(\overline{B}C \)より先に\(A + \overline{B}\)を計算したい場合は、(3)のようにかっこで優先順位を明示的に指定する必要があります。(3)の論理式を回路図で表したのが図2です。

$$ Z = (A + \overline{B})C \ \ \ \ \ \text{(3)} $$

回路例2
図2: 回路例2

もう少し複雑な例が図3です。図3に対応する論理式が(4)です。

$$ Z= \overline{A} \ \overline{B} \ \overline{C} + \overline{A}BC + A \overline{C} \ \ \ \ \ \text{(4)} $$

回路例3
図3: 回路例3

論理式の演算子は、表1以外にもXORゲートを表す\(\oplus\)があります。XORゲートは、ANDゲートとORゲートの組み合わせで実現できるので、XORゲートの演算子は必ずしも必要ではありません(図4)。XORは論理式で(5)のように表すことができます。

XORの等価回路
図4: XORの等価回路

$$ Z= A \oplus B = A\overline{B} + \overline{A}B \ \ \ \ \ \text{(5)} $$

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