回路図と論理式の変換

次の回路図(図1)と等価な論理式を作成します。

図1: 2入力、1出力の回路図

変換方法によって、いくつかの表現の論理式に変換できます。

1. \( Z = \overline{\overline{A \bullet ( \overline{A} + \overline{B})} \bullet \overline{B \bullet ( \overline{B} + \overline{A})}} \)
2. \( Z = A \bullet \overline{B} + B \bullet \overline{A} \)
3. \( Z = (A + B ) \bullet (\overline{A} + \overline{B}) \)
4. \( Z = A \oplus B\)

これら1.〜4.の論理式は、すべて図1と等価です。 つまり、入力A,Bに0または1の値を入れると、図1と1.～4.の式は同じZの値を出力します。

1.の論理式

回路図をそのまま論理式にすると1.になります。図の入力段のORゲートと入力の反転は、NANDゲートと等価です。

論理式と回路図の対応

2.の論理式

1.の論理式をドモルガンの定理で展開すると2.の論理式になります。
$$ Z = \overline{\overline{A \bullet ( \overline{A} + \overline{B})} \bullet \overline{B \bullet ( \overline{B} + \overline{A})}} $$
$$ = \overline{\overline{A \bullet ( \overline{A} + \overline{B})}} + \overline{\overline{B \bullet ( \overline{B} + \overline{A})}} $$
$$ = A \bullet ( \overline{A} + \overline{B}) + B \bullet ( \overline{B} + \overline{A}) $$
$$ = A \bullet \overline{A} + A \bullet \overline{B} + B \bullet \overline{B} + B \bullet \overline{A} $$
\( A \bullet \overline{A} = 0, B \bullet \overline{B} = 0 \)なので
$$ Z = A \bullet \overline{B} + B \bullet \overline{A} $$

3.の論理式

2.の論理式は主加法標準形です。つまり、\(A \bullet \overline{B}\)または\(B \bullet \overline{A}\)の場合のみZ=1になります。論理式から作成した真理値表は次のようになります。

この真理値表から主乗法標準形の論理式を作成すると3.になります。
$$ Z = (A + B ) \bullet (\overline{A} + \overline{B}) $$

4.の論理式

真理値表をよく見ると、これはXORゲートと同じです。
$$ Z = A \oplus B $$