主加法標準形と主乗法標準形の選び方

logic

真理値表から論理式を作成するとき主加法標準形と主乗法標準形のどちらを選択するかの目安は、出力値の1と0の割合です。
真理値表で出力値の1の割合が少ない場合、主加法標準形の方が簡潔な論理式になります。逆に、真理値表で出力値の0の割合が少ない場合、主乗法標準形の方が簡潔な論理式になります。

表1は、入力がA,B,Cの3つ、出力がZの回路の真理値表です。8通りの入力の組み合わせの内、出力が1になる組み合わせは2通りしかありません。このような場合、主加法標準形の方が簡潔な論理式になります。

表1: 出力Zの1の割合が少ない真理値表
入力出力
ABCZ
0000
0011
0100
0110
1000
1010
1101
1110

表1の主加法標準形の論理式が(1)です。また、主乗法標準形の論理式が(2)です。
主加法標準形の方が簡潔な論理式になります。

$$Z = \overline{A} \cdot \overline{B} \cdot C + A \cdot B \cdot \overline{C} \ \ \ \ \ \text{(1)}$$

\begin{equation}
\begin{split}
Z = (A+B+C)(A+\overline{B}+C)\\
(A+\overline{B}+\overline{C})(\overline{A}+B+C)\\
(\overline{A}+B+\overline{C})(\overline{A}+\overline{B}+\overline{C})\ \ \ \ \ \text{(2)}
\end{split}
\end{equation}

表2は表1と同じく入力がA,B,Cで出力がZの回路の真理値表ですが、8通りの入力の組み合わせの内、出力が0になる組み合わせは2通りしかありません。このような場合、主乗法標準形の方が簡潔な論理式になります。

表2: 出力Zの0の割合が少ない真理値表
入力出力
ABCZ
0001
0010
0101
0111
1001
1011
1100
1111

表2の主乗法標準形の論理式が(3)です。また、主加法標準形の論理式が(4)です。
主乗法標準形の方が簡潔な論理式になります。

$$Z = (A+B+\overline{C})(\overline{A}+\overline{B}+C) \ \ \ \ \ \text{(3)}$$

\begin{equation}
\begin{split}
Z = \overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{C}+\overline{A} \cdot B \cdot \overline{C}+\\
\overline{A} \cdot B \cdot C+A \cdot \overline{B} \cdot \overline{C}+\\
A \cdot \overline{B} \cdot C+A \cdot B \cdot C\ \ \ \ \ \text{(4)}
\end{split}
\end{equation}

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