循環小数の基数変換

10進数の0.8を16進数と2進数に基数変換します。

0.8に16を繰り返し掛けても16進数に変換できますが、ここでは無限等比級数の和の公式を利用します。

無限等比級数の和の公式

初項がa, 公比がrの等比級数の和は\( \frac{a}{1 – r} \)
ただし、-1 < r < 1

例えば、初項が0.2, 公比が0.1の等比級数の和は
\( \frac{0.2}{1 – 0.1} = \frac{0.2}{0.9} = 0.2222… = 0. \dot{2} \)
これは、循環小数\( 0. \dot{2} \)は、初項が\( 0.2 = \frac{2}{10} \)、公比が\( 0.1 = \frac{1}{10} \)の等比級数の和で表されることを意味します。

基数変換への応用

循環小数\( 0. \dot{2} \)の例を16進数の場合に置き換えると、
16進数の循環小数は、初項が\( 0.X_{16} = \frac{X_{16}}{10_{16}} \)、公比が\( 0.1_{16} = \frac{1_{16}}{10_{16}} \)の等比級数の和で表すことができます。
$$ 0. \dot{X}_{16} = \frac{0.X_{16}}{1-0.1_{16}} = \frac{ \frac{X_{16}}{10_{16}}}{ \frac{10_{16}}{10_{16}}-\frac{1_{16}}{10_{16}}} = \frac{ \frac{X_{16}}{10_{16}}}{ \frac{f_{16}}{10_{16}}} = \frac{X_{16}}{f_{16}} $$

この式を利用すると、分母が\( 15_{10}(=f_{16}) \)の10進数の分数は16進数に簡単に変換できます。

0.8の16進数表記と2進数表記

16進数表記

$$ 0.8_{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} $$
ここで、分母と分子に3を掛けると
$$ \frac{4}{5} = \frac{12}{15} = \frac{c_{16}}{f_{16}} $$
これは、16進数の無限等比級数の和の公式に当てはめると
$$ 0.ccccc_{16}… = 0. \dot{c}_{16} $$

2進数表記

\( c_{16} = 1100_{2} \)なので、
$$ 0. \dot{c}_{16} = 0. \dot{1}10\dot{0} $$

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