4進数から10進数への変換(小数点を含む数)

logic

具体的な例として、\( 321.123_{4} \)を10進数に変換します。次の手順で、4進数の\( 321.123_{4} \)は、10進数の\(57.42_{10}\)に対応することがわかります。

基数を明確にするために、数値の最後に下付き文字で基数を付加します。例えば、10進数の1という数値は\( 1_{10} \)と表記します。2進数の1という数値は\( 1_{2} \)と表記します。16進数の1という数値は\( 1_{16} \)と表記します。

1. 4進数を4のべき乗形式で表す

\(321.123_{4} \)の各桁の数値を、そのまま10進数の数とみなして4のべき乗形式で表します。

\begin{equation}
\begin{split}
321.123_{4}
&= 3_{10} \times 4^2_{10} + 2_{10} \times 4^1_{10} + 1_{10} \times 4^0_{10} + \\
&1_{10} \times 4^{-1}_{10} + 2_{10} \times 4^{-2}_{10} + 3_{10} \times 4^{-3}_{10}
\end{split}
\end{equation}

2. 4のべき乗形式の各桁を計算する

\begin{equation}
\begin{split}
321.123_{4}
&= 3_{10} \times 4^2_{10} + 2_{10} \times 4^1_{10} + 1_{10} \times 4^0_{10} + \\
&1_{10} \times 4^{-1}_{10} + 2_{10} \times 4^{-2}_{10} + 3_{10} \times 4^{-3}_{10}\\
&= 3_{10} \times 16_{10} + 2_{10} \times 4_{10} + 1_{10} \times 1_{10} + \\
&1_{10} \frac{1_{10}}{4_{10}} + 2_{10} \times \frac{1_{10}}{16_{10}} + 3_{10} \times \frac{1_{10}}{64_{10}}\\
&= 48 + 8 + 1 + \frac{1_{10}}{4_{10}} + \frac{2_{10}}{16_{10}} + \frac{3_{10}}{64_{10}}\\
&= 48 + 8 + 1 + \frac{16_{10}}{64_{10}} + \frac{8_{10}}{64_{10}} + \frac{3_{10}}{64_{10}}\\
&= 48 + 8 + 1 + \frac{27_{10}}{64_{10}}
\end{split}
\end{equation}

3. 各桁の数をすべて足す

\begin{equation}
321.123_{4} = 48 + 8 + 1 + \frac{27_{10}}{64_{10}} \approx 57.42_{10}
\end{equation}

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