伝達関数\( G(s) = \frac{1}{s+2} \)に単位ステップ入力u(t)を加えたときの出力y(t)を求めます。
手順は次の通りです。
1. 伝達関数に単位ステップ入力を加える
2. 部分分数に展開する
3. ラプラス逆変換を行う
1. 伝達関数に単位ステップ入力を加える
単位ステップ入力u(t)のラプラス変換は、ラプラス変換表から\( \frac{1}{s} \)、よって単位ステップ入力を加えた両辺のラプラス変換は
$$ Y(s) = \frac{1}{s} \frac{1}{s+2} $$
2. 部分分数に展開する
ラプラス変換表を利用して逆変換が行えるように、部分分数の形式に展開します。\( \frac{1}{s} \frac{1}{s+2} \)を部分分数に展開したときの分子をA,Bとすると
$$ \frac{1}{s} \frac{1}{s+2} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2} $$
\( s(s+2) \)を両辺にかけます。
$$ 1 = (s+2)A + sB $$
sについて整理すると
$$ 1 = 2A + (A+B)s $$
これが成立するには
$$ 2A = 1, A+B = 0$$
$$ A = \frac{1}{2}, B = -\frac{1}{2} $$
よって
$$ Y(s) = \frac{1}{s} \frac{1}{s+2} = \frac{1}{2}(\frac{1}{s} – \frac{1}{s+2}) $$
3. ラプラス逆変換を行う
ラプラス変換表を利用した逆変換で時間関数領域に戻します。
ラプラス変換表から、1(単位ステップ関数)のラプラス変換は\( \frac{1}{s} \)、
また、\(e^{-at} \)のラプラス変換は\(\frac{1}{s+a} \)より
$$ y(t) = \frac{1}{2}(1 – e^{-2t}) $$