システムの最終値と最終値定理


次の伝達関数をもつシステムにステップ入力を加えたときの出力の最終値を求めます。
$$G(s) = \frac{4}{3𝑠^2+7𝑠+3} $$

手順は次の通りです。
1. ステップ入力を加える
2. 最終値定理を適用する

1. ステップ入力を加える

ステップ入力をs領域に変換た\(\frac{1}{s}\)を伝達関数にかけた値を
出力\(F(s)\)とした式を作成します。
$$ F(s) = \frac{4}{3𝑠^2+7𝑠+3}\frac{1}{s} $$

2. 最終値定理を適用する

最終値定理を適用して、s領域の式\(F(s)\)から時間領域の式\(f(t)\)の値を求めます。最終値定理を適用すると、時間領域での最終値(\( \lim_{t \to \infty} f(t) \))をs領域の式(\( \lim_{s \to 0} sF(s) \))から求めることができます。
$$ lim_{t \to \infty} f(t) = lim_{s \to 0} sF(s) = lim_{s \to 0} s\frac{4}{3𝑠^2+7𝑠+3}\frac{1}{s}$$
$$= lim_{s \to 0}\frac{4}{3𝑠^2+7𝑠+3} = \frac{4}{3}$$
よって、システムにステップ入力を加えたときの出力の最終値は\(\frac{4}{3}\)

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