ラプラス変換表と性質

ラプラス変換表(代表例の抜粋)

t関数(時間領域) s関数(ラプラス変換領域)
\( \delta(t) \):単位インパルス信号 1
\( u(t) \):単位ステップ信号 \( \frac{1}{s} \)
\( e^{-at} \) \( \frac{1}{s+a} \)
 \( te^{-at} \)  \( \frac{1}{(s+a)^2} \)
 \( t \)  \( \frac{1}{s^2} \)
 \( t^2 \)   \( \frac{2}{s^3} \)

単位インパルス信号と単位ステップ信号は、システムへの入力信号としてよく利用されます。

単位インパルス信号

単位インパルス信号

単位ステップ信号

単位ステップ信号

単位インパルス信号に対応するs関数は1です。つまり、伝達関数に単位インパルス信号を入力したものは、伝達関数そのものと同じです。

ラプラス変換の性質(代表例の抜粋)

 性質 t関数 s関数
 線形法則  \( af(t) \) \( aF(s) \)
 線形法則  \( f(t) + g(t) \) \( F(s) + G(s) \)
 相似法則  \( f(at) \) \( \frac{1}{a}F( \frac{s}{a} ) \)
 推移法則   \( e^{-at}f(t) \) \( F(s+a) \)
 微分法則   \( \frac{df(t)}{dt} \) \( sF(s) –  f(0) \)
 積分法則    \( \int f(t) dt \) \( \frac{F(s)}{s} \)
 初期値定理  \( \lim_{t \to 0} f(t) \)  \( \lim_{s \to \infty} sF(s) \)
 最終値定理  \( \lim_{t \to \infty} f(t) \)   \( \lim_{s \to 0} sF(s) \)

初期値定理 : 時間領域でtを極限まで0に近づけた時のf(t) の値は、s領域でsF(s)のsを極限まで無限大に近づけることで求まります。
最終値定理 : 時間領域でtを極限まで無限大に近づけた時の f(t) の値は、s領域でsF(s)のsを極限まで0に近づけることで求まります。

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