ブール代数


論理回路は、同じ機能を論理式で表すことができます。論理式の計算を行うときのルールがブール代数です。日常生活では0から9の値を使う10進数が一般的ですが、ブール代数では0と1の2進数を扱います。このため、10進数の計算とは異なるルールが存在します。いくつかのブール代数の定理を紹介します。

1変数の場合

番号 定理
1  \(A \bullet 1 = A\)
2 \(A \bullet 0 = 0\)
3 \(A \bullet A = A\)
4 \( \overline{\overline{A}} = A\)
5 \(A \bullet \overline{A} = 0\)

定理1: \(A \bullet 1 = A\)

ある変数Aに1をかけた結果は、元の変数Aになります。Aに具体的な値を入れて考えてみます。A=0のとき、 \(0 \bullet 1 = 0\)になるので確かに入力と出力は同じ値になります。また、A=1のときは\(1 \bullet 1 = 1\)になるので確かに入力と出力は同じ値になります。

定理2: \(A \bullet 0 = 0\)

ある変数Aに0をかけた結果は、0になります。Aに具体的な値を入れて考えてみます。A=0のとき、 \(0 \bullet 0 = 0\)になるので確かに出力は0になります。また、A=1のときは\(1 \bullet 0 = 0\)になるので確かに入力と出力は同じ値になります。

定理3: \(A \bullet A = A\)

ある変数AにAをかけた結果は、Aになります。Aに具体的な値を入れて考えてみます。A=0のとき、 \(0 \bullet 0 = 0\)になるので確かに出力はAと同じ値になります。また、A=1のときは\(1 \bullet 1 = 1\)になるので確かに入力と出力は同じ値になります。

定理4: \( \overline{\overline{A}} = A\)

ある変数Aを2回否定すると、結果はAになります。Aに具体的な値を入れて考えてみます。A=0のとき、 \( \overline{\overline{0}} = \overline{1} = 0\)になるので、確かに入力と出力は同じ値になります。A=1のとき、\( \overline{\overline{1}} = \overline{0} = 1\)になるので、確かに入力と出力は同じ値になります。

定理5: \(A \bullet \overline{A} = 0\)

ある変数Aとその反転をかけた結果は、0になります。Aに具体的な値を入れて考えてみます。A=0のとき、\( 0 \bullet \overline{0} = 0 \bullet 1 = 0\)になるので、確かに結果は0になります。A=1のとき、\( 1 \bullet \overline{1} = 1 \bullet 0 = 0\)になるので、確かに結果は0になります。

双対表現

ブール代数には双対表現と呼ばれるものがあります。これは、元の定理の0を1に、\( \bullet \)を+に変えたものです。具体的には、次の表のようにそれぞれの定理に対して双対表現が存在します。

番号 定理  双対表現
1 \(A \bullet 1 = A\)  \(A + 0 = A\)
2 \(A \bullet 0 = 0\)  \(A + 1 = 1\)
3 \(A \bullet A = A\)  \(A + A = A\)
4 \( \overline{\overline{A}} = A\)
5 \(A \bullet \overline{A} = 0\)  \(A + \overline{A} = 1\)

2変数の場合

論理圧縮(冗長な変数を消す)を行う場合などに良く利用されます。

番号 定理  双対表現
1  \(A \bullet (A + B) = A\)  \(A + (A \bullet B) = A\)
2   \( (A \bullet B) + (A \bullet \overline{B} ) = A\)  \( (A + B) \bullet (A + \overline{B} ) = A\)

定理1: \(A \bullet (A + B) = A \)

AとBという変数があるとき、AとBをORした結果にAをかけたものはAと同じです。これは、Bが0または1のどちらの値であっても結果はAのみで決まるということを意味します。つまりBは不要であるということです。

定理2: \( (A \bullet B) + (A \bullet \overline{B} ) = A\)

AとBという変数があるとき、AとBをかけた結果とAとBの反転をかけた結果のORはAと同じです。これは、Bが0または1のどちらの値であっても結果はAのみで決まるということを意味します。つまりBは不要であるということです。

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