(7,3)巡回符号


生成多項式が\( g(x) = x^4 + x^3 + x^2 + 1\)の(7,3)巡回符号をすべて求めます。
手順は次の通りです。
1. 元の情報ビット数を確認する
2. 巡回符号を計算する

1. 元の情報ビット数を確認する

(7,3)巡回符号は、巡回符号長は7ビット, 元の情報は3ビットを意味します。つまり、\( 2^3 = 8\)通りの情報があり、それに対応する巡回符号も8通りになります。

2. 巡回符号を計算する

8通りの3ビットの情報をq(x)とし、それぞれにg(x)を掛けて巡回符号u(x)を求めます。

\( q(x) \) \( q(x) \bullet g(x) \) \( u(x) \) 巡回番号
000 \( 0\) 0000000
001 \( x^4+x^3+x^2+1\) 0011101 1
010 \( x^5+x^4+x^3+x\) 0111010 2
011 \( x^5+x^2+x+1\) 0100111 6
100 \( x^6+x^5+x^4+x^2\) 1110100 3
101 \( x^6+x^5+x^3+x\) 1101001 4
110 \( x^6+x^3+x^2+x\) 1001110 7
111 \( x^6+x^4+x+1\) 1010011 5

ここで、巡回符号u(x)は左に1ビットシフトすると、1~7の順番で巡回することがわかります。

巡回符号は、ある符号をシフトしても巡回符号になりますが、巡回した結果、すべての種類を網羅するわけではありあせん。

q(x)=000の巡回符号であるu(x)=0000000は、シフトして他の符号になることはなく、自分自身で巡回します。

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