システムの安定条件


次の伝達関数をもつシステムの出力が振動しないための𝛼の条件を求めます。ただし、𝛼>0とします。
$$ G(s) = \frac{3}{4𝑠^2+\alpha𝑠+4} $$
手順は次の通りです。
1. 特性方程式の根を求める
2. 虚数部が0になるα求める

1. 特性方程式の根を求める

特性方程式\( 4𝑠^2+\alpha 𝑠+4=0 \)の根を求めると
\( s = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)より
$$ s = \frac{-\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 – 64}}{8} $$
よって
$$ s1 = \frac{-\alpha + \sqrt{\alpha^2 – 64}}{8}, s2 = \frac{-\alpha – \sqrt{\alpha^2 – 64}}{8} $$

2. 虚数部が0になるα求める

出力が振動しないためには、根の虚数部を0にする必要があります。
つまり平方根内について\(α^2−64 \geq 0\)という条件が必要です。
よって、𝛼>0という制約から
$$ \alpha \geq 8 $$
が振動しないための条件になります。

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