次の一巡伝達関数について、システムの安定性を判断します。
$$ G_0(s) = \frac{4}{(s-2)(s+3)} $$
手順は次のとおりです。
1. システムの伝達関数と特性方程式を求める
2. 特性方程式の極から安定性を判断する
1. システムの伝達関数と特性方程式を求める
一巡伝達関数を\( G_0(s)\)とするとき、システムの伝達関数は次のように表されます。
$$ G(s) = \frac{G_0(s)}{1+G_0(s)} $$
フィードバックシステムの伝達関数
\( G(s) = \frac{G_0(s)}{1+G_0(s)} \)に実際の値を入れて整理します。
$$ \frac{G_0(s)}{1+G_0(s)} = \frac{\frac{4}{(s-2)(s+3)}}{1+\frac{4}{(s-2)(s+3)}}$$
$$ = \frac{4}{(s-2)(s+3)+4} = \frac{4}{s^2+s-2} $$
よって、特性方程式は分母多項式\( s^2+s-2 = 0 \)となります。
2. 特性方程式の極から安定性を判断する
2次方程式の解の公式から
$$ s = \frac{-1 \pm \sqrt{9} }{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$
$$ s = 1, -2 $$
極の実部がすべて負ではないので、このシステムは不安定です。
