主加法標準形から主乗法標準形への変換


主加法標準形の論理式
$$ Z = B + A \bullet C $$
主乗法標準形を求めます。手順としては、まずカルノー図(またはベイチ図)を作成し、それを参考に主乗法標準形の論理式を作成します。

カルノー図の作成

\( Z = B + A \bullet C \)のカルノー図は次のようになります。

カルノー図

カルノー図

主乗法標準形で論理式を作成

カルノー図で0になっているセルに注目し、主乗法標準形の論理式を作成します。

0のセルに注目

0のセルに注目

$$ Z = (ABC)(AB \bar{C})(\bar{A}BC) $$

カルノー図から別の主加法標準形の論理式を作成する

\( Z = B + A \bullet C \)は最適化された論理式ですが、Bの部分をあえて冗長な論理に変更してみます。
具体的には、カルノー図で4つのセルを囲んでいる青色の部分を、2つの囲みに分割します。その場合、2通りの分割が考えられます。

分割その1

Bの囲みの分割その1

Bの囲みの分割その1

$$ Z = B + AC = \bar{A}B + AB + AC $$
主加法標準形の論理式をそのまま回路図で表すと、次のようになります。

ANDゲートとORゲートで構成

ANDゲートとORゲートで構成

ORが負論理のANDと同じであることを利用すると、次のようにNANDゲートだけで表すこともできます。

NANDゲートで構成

NANDゲートで構成

分割その2

Bの囲みの分割その2

Bの囲みの分割その2

$$ Z = B + AC = BC + B \bar{C} + AC $$
主加法標準形の論理式をそのまま回路図で表すと、次のようになります。

ANDゲートとORゲートで構成

ANDゲートとORゲートで構成

ORが負論理のANDと同じであることを利用すると、次のように表すこともできます。

NANDゲートで構成

NANDゲートで構成

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